高考物理|【一轮复习专题】追及与相遇问题

【核心方法点拨】

1．分析技巧：可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．

(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；

(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．

2．能否追上的判断方法物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0<xB，则能追上；若vA＝vB时，xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；若vA＝vB时，xA＋x0>xB，则不能追上．

3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．

4. 解题方法：

①临界条件法　

②图象法　

③数学法

【经典例题选讲】

【例题1】 (多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v -t图象如图所示。已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(　　)

A．在t＝1 s时，甲车在乙车后B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 mC．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 sD．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m【例题】由题图知，甲车做初速度为0的匀加速直线运动，其加速度a甲＝10 m/s2。乙车做初速度v0＝10 m/s、加速度a乙＝5 m/s2的匀加速直线运动。3 s内甲、乙车的位移分别为：x甲＝12a甲t23＝45 m，x乙＝v0t3＋12a乙t23＝52.5 m，由于t＝3 s时两车并排行驶，说明t＝0时甲车在乙车前，Δx＝x乙－x甲＝7.5 m，选项B正确；t＝1 s时，甲车的位移为5 m，乙车的位移为12.5 m，由于甲车的初始位置超前乙车7.5 m，由t＝1 s时两车并排行驶，选项A、C错误；甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为52.5 m－12.5 m＝40 m，选项D正确。答案：　BD

【变式1-1】入冬以来，全国多地多次发生雾霾天气，能见度不足100 m。在这样的恶劣天气中，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，乙在前，甲在后同向行驶。某时刻两车司机同时听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，结果两辆车发生了碰撞。如图所示为两辆车刹车后若恰好不相撞的v -t图象，由此可知(　　)

A．两辆车刹车时相距的距离一定等于112.5 m

B．两辆车刹车时相距的距离一定小于90 m

C．两辆车一定是在刹车后的20 s之内的某时刻发生相撞的

D．两辆车一定是在刹车后的20 s以后的某时刻发生相撞的

解析：　v -t图象给定了两车的初速度和加速度，不确定值是刹车前两车间距离。由两车的v -t图象可知，两车不相撞的最小距离Δxmin＝\a\vs4\al\co1(\f(5＋255＋152)×20 m＝100 m，即当Δx<100 m时两车必相撞，选项A、B均错误；两车相撞一定发生在甲车速度大于乙车速度时，即刹车后的20 s之内，选项C正确，D错误。答案：C

【变式1-2】如图所示是做直线运动的甲、乙两物体的s－t图象，下列说法中正确的是 ( BD )

A．t1s时两物体相距最远

B．当t＝t2s时，两物体相遇

C．当t＝t2s时，两物体相距最远

D．当t＝t3s时，两物体相距s1m

[解析]　由图象可以看出，乙在t1时刻乙的位置坐标为0，甲的位置坐标为s1，甲沿负向做匀速直线运动，乙启动后沿正向运动，两者间距减小，故t＝0时两物体相距最远，t＝t2s时，两者相遇，相遇后间距增大，当t＝t3s时，两物体又相距最远，故A错误；当t＝t2s时，两物体到达同一位置而发生相遇，故B正确，C错误；当t＝t3s时，甲的位移为零，乙的位移为s1，所以当t＝t3s时，两物体相距s1m，故D正确，故选BD。

【例题2】如图所示，A、B两物体相距x＝7 m，物体A以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时的速度vB＝10 m/s，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，那么物体A追上物体B所用的时间为(　　)

A．7 s B．8 s

C．9 s D．10 s

【解析】B物体减速到零所需的时间t＝0－vBa＝0－10－2 s＝5 s，在5 s内A物体的位移xA＝vAt＝4×5 m＝20 mB物体的位移xB＝vB＋02t＝10＋02×5 m＝25 m，则在5 s时两物体相距Δx＝xB＋7 m－xA＝(25＋7－20) m＝12 m，则A追上B所需的时间为t′＝t＋ΔxvA＝5 s＋124 s＝8 s．【答案】B

【变式2-1】(2017·湖南五校联考)如图所示，质量均为1kg的两个物体A、B放在水平地面上，相距7m，它们与水平地面间的动摩擦因数均为μ＝0.2。现使它们分别以初速度vA＝6m/s和vB＝2m/s同时相向运动，不计物体的大小，g取10m/s2。则 (　D　)

A．它们经过(3＋3)s相遇

B．它们经过2)2s相遇

C．它们在距离物体A出发点5.25m处相遇D．它们在距离物体A出发点6m处相遇

[解析]　对物体A进行受力分析，A受到重力、支持力和滑动摩擦力，根据牛顿第二定律，有－μmg＝ma1，故加速度为a1＝－μg＝－2m/s2；同理，物理B的加速度为a2＝－μg＝－2m/s2。物体B的初速度较小，首先停止运动，故其停止运动的时间为t1＝0－vBa2＝1s，该段时间内物体A的位移为xA1＝vAt1＋12a1t21＝5m，物体B的位移为xB＝vBt1＋12a2t21＝1m。故此时开始，物体B不动，物体A继续做匀减速运动，直到二者相遇，即它们在距离物体A出发点6m处相遇，故C错误，D正确；1s末物体A的速度为vA1＝vA＋a1t1＝4m/s，物体A继续做匀减速运动过程，则xA2＝vA1t2＋12a1t22＝1m，解得t2＝(2－3)s[t′2＝(2＋3)s舍去]，故从出发到相遇的总时间为t＝t1＋t2＝(3－3)s，故A、B错误。

【变式2-2】甲车以10m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边开始以1m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：

(1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离；

(2)乙车追上甲车所用的时间。

答案：(1)18m　(2)12.5s

[解析]　(1)在乙车追上甲车之前，当两车速度相等时两车间的距离最大，设此时经过的时间为t1，则由v1＝v2＋at1，a＝－1m/s2，得t1＝6s，此时甲车的位移为x1＝v2t1＋12at21＝42m，乙车的位移为x2＝v1t1＝24m所以两车间的最大距离为Δx＝x1－x2＝18m(2)设甲车停止的时间为t2，则有t2＝0－v2a＝10s，甲车在这段时间内发生的位移为x＝v02t2＝50m，乙车在这段时间内的位移为x′＝v1t2＝40m，x′<x，即甲车停止运动时，乙车未追上甲车，故乙车追上甲车用时为t3＝xv1＝12.5s

【例题3】甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L1＝11m处，乙车速度v乙＝60m/s，甲车速度v甲＝50m/s，此时乙车离终点线尚有L2＝600m，如图所示，若甲车做匀加速运动，加速度a＝2m/s2，乙车速度不变，不计车长。

(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？

(2)到达终点时甲车能否超过乙车？

答案：(1)5s　36m　(2)到达终点时甲车不能超过乙车

[解析]　

(1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，即v甲＋at1＝v乙，得t1＝v乙－v甲a＝60－502s＝5s；甲车位移x甲＝v甲t1＋12at21＝275m，乙车位移x乙＝v乙t1＝60×5m＝300m，此时两车间距离Δx＝x乙＋L1－x甲＝36m

(2)甲车追上乙车时，位移关系x甲′＝x乙′＋L1，甲车位移x甲′＝v甲t2＋12at22，乙车位移x乙′＝v乙t2，将x甲′、x乙′代入位移关系，得v甲t2＋ at22＝v乙t2＋L1，代入数值并整理得t22－10t2－11＝0，解得t2＝－1s(舍去)或t2＝11s，此时乙车位移x乙′＝v乙t2＝660m，因x乙′>L2，故乙车已冲过终点线，即到达终点时甲车不能超过乙车。

【变式3】一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h以内。问：

(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？

(2)警车发动后要多长时间才能追上货车？

答案：(1)75m　(2)12s

[解析]　(1)警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们间的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等。则：t1＝va＝102.5s＝4s，货车的位移为：s货＝vt′＝10×(5.5＋4)m＝95m，警车的位移为：s警＝12at2＝12×2.5×42m＝20m，所以两车间的最大距离为：Δs＝s货－s警＝(95－20)m＝75m(2)v0＝90km/h＝25m/s，当警车刚达到最大速度时，运动时间为：t2＝va＝252.5s＝10s，此过程中货车的位移为：s货′＝vt＝10×(5.5＋10)m＝155m，此过程中警车的位移为：s警′＝12at2＝12×2.5×102m＝125m，因为s货′＞s警′，故此时警车尚未赶上货车，且此时两车距离为：Δs′＝s货′－s警′＝30m，警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过△t时间追赶上货车，则：Δt＝Δs′v0－v＝2s，所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12s才能追上货车。

【巩固习题】

1.在一大雾天，一辆汽车以32 m/s的速度匀速行驶在高速公路上，t＝0时刻汽车司机突然发现正前方100 m处有一辆货车以20 m/s的速度同方向匀速行驶，为避免与货车相撞，汽车司机立即刹车。已知两车运动的v -t图象如图所示，则(　　)

A．汽车减速运动时的加速度为4 m/s2

B．两车的最近距离为18 m

C．t＝6 s时汽车和货车相撞

D．t＝3 s时货车在汽车前

解析：　由v -t图象可知汽车减速运动时，加速度a＝v－v0t＝0－328 m/s2＝－4 m/s2，加速度是矢量，既有大小又有方向，所以A选项错误；二者速度相等时两车具有最小距离，根据v＝v0＋at得t＝3 s，此时二者距离x＝x0＋vt－\a\vs4\al\co1(v0t＋\f(12)at2)＝82 m，所以B错误，D正确；“匀减速追匀速”，速度相等时没有追上，此后汽车速度小于货车速度，二者不会相撞，选项C错误。答案：　D

2. 甲乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v-t图像如图所示．两图像在t＝t1时相交于P点，P在横轴上的投影为Q，△OPQ的面积为S.在t＝0时刻，乙车在甲车前面，相距为d.已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t′，则下面四组t′和d的组合可能是(　　)

A．t′＝t1，d＝S

B．t′＝12t1，d＝12S

C．t′＝12t1，d＝12S

D．t′＝12t1，d＝34S

【解析】在t1时刻如果甲车没有追上乙车，以后就不可能追上了，故t′＜t1，从图像中甲、乙与坐标轴围成的面积即对应的位移看：因为要相遇两次，所以第一次相遇不可能在t1时刻，故A项错误；当t′＝12t1时，由几何关系可知甲的面积为S，乙的面积为S4，所以甲的面积比乙的面积多出34S，即相距d＝34S时正好相遇，故B、C项组合不可能，D项组合可能，故选D项．【答案】D

3. 一个步行者以6m/s的速度匀速追赶一辆被红灯阻停的汽车，当他距离汽车25m时，绿灯亮了，汽车以1m/s2的加速度匀加速启动前进，下列结论正确的是 (　B　)

A．人能追上汽车，追赶过程中人跑了36m

B．人不能追上汽车，人车最近距离是7m

C．人能追上汽车，追上前人共跑了43m

D．人不能追上汽车，且汽车开动后人车相距越来越远

[解析]　设经过时间t两者速度相等，t＝Δva＝6－01s＝6s，此时步行者的位移为x1＝vt＝6×6m＝36m，汽车的位移为x2＝12at2＝12×1×36m＝18m，因x1－x2＝18m<25m，故人不能追上汽车，人和车最近距离为Δx＝25m－(x1－x2)＝7m，故B正确。

4. 两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在前车刚停住时，后车以前车刹车的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行驶的距离为s，若要保持两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为 (　　)

A．s　　　

B．2s　　　

C．3s　　　

D．4s

[解析]　两辆完全相同的汽车，刹车时加速度相同，刹车位移也相同为s，设加速度大小为a，前车刹车的时间为t＝Δva＝v0a，刹车的位移s＝202a，在此时间内，后车做匀速运动，位移为x＝v0t＝20a，所以x＝2s，此后后车刹车，刹车位移也为s，要保持两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为Δx＝x＋s－s＝x＝2s，故选B。

5.如图所示，直线a与四分之一圆弧b分别表示质点A、B从同一地点出发、沿同一方向做直线运动的v－t图。当B的速度变为0时，A恰好追上B，则A的加速度为 ( D )

A．1m/s2　 B．2m/s2

C．π4m/s2　 D．π2m/s2

[解析]　设A的加速度为a.两质点A、B从同一地点出发，A追上B时两者的位移相等，即xa＝xb。根据v－t图象的“面积”表示位移，得12at2＝14×π×22；由题知t＝2s，解得 a＝π2m/s2。故选D。

6.在一大雾天，一辆小汽车以30 m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵．如图7a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图线，以下说法正确的是(　　)

A．因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾

B．在t＝5 s时追尾

C．在t＝3 s时追尾

D．由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾

【解析】由v－t图象可知，小汽车刹车失灵前做匀减速运动，刹车失灵后加速度减小但仍做匀减速运动，大卡车一直做匀速运动，5 s时两车速度相等，此时两者位移差为x小汽车－x大卡车＝12×(10＋20)×1 m＋12×4×10 m＝35 m>30 m，所以在t＝5 s前已追尾，A、B错误；t＝3 s时，由图象知小汽车的位移为x1＝30＋202×1 m＋20＋1022×2 m＝60 m，大卡车的位移为30 m，它们的位移差为30 m，所以t＝3 s时追尾，C正确；如果刹车过程中刹车不失灵，由图可知，刹车的加速度大小为a＝10 m/s2，速度相等时，时间t＝30－1010 s＝2 s，小汽车的位移为x2＝30×2 m－12×10×22 m＝40 m，大卡车的位移为20 m，它们的位移差为20 m，所以不会发生追尾，D错误．【答案】C

7. a、b两车在平直公路上沿同方向行驶，其v－t图象如图5所示，在t＝0时，b车在a车前方x0处，在0～t1时间内，a车的位移为x，下列说法正确的是(　　)

A．若a、b在t1时刻相遇，则x0＝x3

B．若a、b在t12时刻相遇，则下次相遇时刻为2t1

C．若a、b在t12时刻相遇，则x0＝x2

D．若a、b在t1时刻相遇，则下次相遇时刻为2t1

【解析】由图可知a车初速度等于2v0，在0～t1时间内发生的位移为x，则b车的位移为x3，若a、b在t1时相遇，则x0＝x－x3＝23x，A错误；若a、b在t12时刻相遇，则图中阴影部分为对应距离x0，即x0＝34×23x＝x2，由图象中的对称关系可知下次相遇时刻为t1＋t12＝32t1，C正确，B错误；若a、b在t1时相遇，之后vb>va，两车不可能再次相遇，D错误．

【答案】BC

8. 摩托车以速度v1沿直线运动，突然驾驶员发现正前方s处，有一辆汽车正以v2(v2<v1)的速度开始减速，加速度大小为a2，为了避免发生碰撞，摩托车也同时减速，其加速度的最小值可能为(　　)

A.v1v2a2 B.2122a2v2a2s＋v

C.21v2s D.（v1－v2）22s＋a2【解析】①两车速度方向相同，临界情况是速度相等时，恰好不相撞，则有v1－a1t＝v2－a2t＝v，v1＋v2t－v2＋v2t＝s，联立两式解得a1＝（v1－v2）22s＋a2；②两车速度方向相同，不会同时出现速度相等，临界情况为速度都减为零后恰好不相撞。则有21v2a1－22v2a2＝s，解得a1＝2122a2v2a2s＋v；③两车相向运行，临界情况是两车速度减为零时恰好不相撞，则有：21v2a1＋22v2a2＝s，解得a1＝2122a2v2a2s－v，故B、D正确，A、C错误。【答案】BD

9.现有A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车速度vB＝30 m/s.因大雾能见度低，B车在距A车600 m时才发现前方有A车，此时B车立即刹车，但B车要减速1 800 m才能够停止．

(1)B车刹车后减速运动的加速度多大？

(2)若B车刹车8 s后，A车以加速度a1＝0.5 m/s2加速前进，问能否避免事故？若能够避免则两车最近时相距多远？

【解析】(1)设B车减速运动的加速度大小为a，有0－v2B＝－2ax1，解得：a＝0.25 m/s2.(2)设B车减速t秒时两车的速度相同，有vB－at＝vA＋a1(t－Δt)，代入数值解得t＝32 s，在此过程中B车前进的位移为xB＝vBt－at22＝832 m，A车前进的位移为xA＝vAΔt＋vA(t－Δt)＋12a1(t－Δt)2＝464 m，因xA＋x>xB，故不会发生撞车事故，此时Δx＝xA＋x－xB＝232 m.【答案】 (1)0.25 m/s2 (2)能避免　232 m

10.某隧道设计长度为2 215 m，在隧道中行驶的汽车A以vA＝4 m/s的速度向东做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2，从此刻开始计时，若汽车A不采取刹车措施，汽车B刹车直到静止后保持不动，求：

(1)汽车A追上汽车B前，A、B两汽车间的最远距离；

(2)汽车A恰好追上汽车B需要的时间。【解析】(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA，得t＝vB－vAa＝3 s，此时汽车A的位移xA＝vAt＝12 m，汽车B的位移xB＝vBt－12at2＝21 m，A、B两汽车间的最远距离Δxm＝xB＋x0－xA＝16 m(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1＝vBa＝5 s，运动的位移xB′＝2Bv2a＝25 m，汽车A在t1时间内运动的位移xA′＝vAt1＝20 m，此时相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m，汽车A需再运动的时间t2＝ΔxvA＝3 s，故汽车A追上汽车B所用时间t＝t1＋t2＝8 s。【答案】(1)16 m　(2)8 s

11. 某天，小明在上学途中沿人行道以v1＝1 m/s速度向一公交车站走去，发现一辆公交车正以v2＝15 m/s速度从身旁的平直公路同向驶过，此时他们距车站x＝50 m．为了乘上该公交车，他加速向前跑去，最大加速度a1＝2.5 m/s2，能达到的最大速度vm＝6 m/s.假设公交车在行驶到距车站x0＝25 m处开始刹车，刚好到车站停下，停车时间t＝10 s，之后公交车启动向前开去．不计车长，求：

(1)若公交车刹车过程视为匀减速直线运动，其加速度a2大小是多少？

(2)若小明加速过程视为匀加速直线运动，通过计算分析他能否乘上该公交车．【解析】(1)公交车的加速度a2＝ 222x0＝0－1522×25 m/s2＝－4.5 m/s2，所以其加速度大小为4.5 m/s2.(2)汽车从相遇处到开始刹车用时t1＝x－x0v2＝2515 s＝53 s，汽车刹车过程中用时t2＝0－v2a2＝103 s，小明以最大加速度达到最大速度用时t3＝vm－v1a1＝6－12.5 s＝2 s，小明加速过程中的位移x′＝12(v1＋vm)t3＝7 m，以最大速度跑到车站所用的时间t4＝x－x′vm＝436 s，t3＋t4<t1＋t2＋10 s，故小明可以在汽车还停在车站时上车．

12.一位同学以1m/s的速度沿人行道向公交车站走去，一辆公交车从身旁的平直公路同向驶过，公交车的速度是15m/s，此时他们距车站的距离为50m.公交车在行驶到距车站25m处开始刹车，刚好到车站停下，停车10s后公交车又启动向前开去。为了安全乘上该公交车，该同学奋力向前跑去，他起跑可看作匀加速直线运动，其加速度大小为2.5m/s2，最大速度是6m/s。求：

(1)若公交车刹车过程视为匀减速直线运动，求公交车刹车过程的加速度大小；(2)该同学能否在公交车停在车站时追上公交车。

答案：(1)4.5m/s2　(2)能安全上车

[解析]　 (1)公交车的加速度a1＝212x1＝－4.5m/s2，所以其加速度大小为4.5m/s2(2)汽车从相遇处到开始刹车时用时：t1＝x－x1v1＝53s，汽车刹车过程中用时：t2＝0－v1a1＝103s，该同学以最大加速度达到最大速度用时：t3＝v3－v2a2＝2s，该同学加速过程中的位移：x2＝v2＋v32t3＝7m，以最大速度跑到车站的时间t4＝x－x2v3＝436s≈7.2s，因t3＋t4<t1＋t2＋10s，该同学可以在汽车还停在车站时安全上车。

13. 甲、乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1＝16m/s的初速度、a1＝－2m/s2的加速度做匀减速直线运动，乙车以v2＝4m/s的初速度、a2＝1m/s2的加速度做匀加速直线运动，求：

(1)两车再次相遇前两车相距最大距离；(2)再次相遇时两车运动的时间。

[解析]　(1)设甲、乙两车经过时间t1速度相等，此时两车相距最远。由题意得：v1＋a1t1＝v2＋a2t1，解得：t1＝v1－v2a2－a1＝16－41＋2s＝4s，x1＝v1t1＋12a1t21＝48m，x2＝v2t1＋12a2t21＝24m，此时Δx＝x1－x2＝24m(2)设甲车经过t0停下，t0＝－v1a1＝8s，设经过时间t2两车再次相遇，则v1t2＋12a1t22＝v2t2＋12a2t22，解得t2＝0(舍)或t2＝8s≤t0。所以8s后两车再次相遇。答案：(1)24m　(2)8s

14. 如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图象如图乙所示。已知B车在第1s内与A车的距离缩短了x1＝12m。

(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小。

(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离s0应满足什么条件？

答案：(1)12m/s　3m/s2　(2)s0>36m

[解析]　(1)在t1＝1 s时A车刚启动，两车缩短的距离x1＝vBt1，代入数据解得B车的速度vB＝12m/s，A车的加速度a＝vBt2－t1，将t2＝5s和其余数据代入，解得A车的加速度大小a＝3m/s2(2)两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应于v－t图象的t2＝5s，此时两车己发生的相对位移为梯形的面积s＝12vB(t1＋t2)，代入数据解得s＝36m，因此，A、B两车不会相撞应满足条件s0>36m

15. 一辆货车正以12m/s的速度在平直公路上前进，司机发现有货物掉下的瞬间，立即关闭油门以大小为2m/s2的加速度做匀减速直线运动，货车开始做匀减速直线运动的同时，紧邻车厢右侧非机动车道上有一人立即拾到货物骑上自行车从静止出发，以2m/s2的加速度同方向追赶货车，已知人骑上自行车能达到的最大速度为8m/s，并能以最大速度持续运动下去，求：

(1)货车做匀减速运动的位移大小；

(2)自行车至少经过多长时间能追上货车。

答案：(1)36m　(2)6.5s

[解析]　(1)已知货车的初速度为v1＝12m/s，加速度大小为a1＝2m/s2，货车做匀减速运动的时间为：t1＝v1a1＝6s，货车做匀减速运动的位移为：x1＝v12t1，解得x1＝36m(2)已知该自行车的加速度为a2＝2m/s2，最大速度为v2＝8m/s，自行车做匀加速运动达到最大速度的时间和位移分别为：t2＝v2a2＝4s，x2＝v22·t2，解得x2＝16m，之后自行车以最大速度做匀速直线运动，到货车停止运动时，其位移为：x3＝v2(t1－t2)＝8×2m＝16m，由于x2＋x3<x1，故货车停止运动时，自行车没有追上货车，然后自行车继续以最大速度匀速运动追赶货车，由匀速运动公式得x1－(x2＋x3)＝v2t3，代入数据解得：t3＝0.5s，自行车追上货车的时间t＝t1＋t3＝6.5s

16. 春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前x0＝9 m区间的速度不超过v0＝6 m/s。现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲＝20 m/s和v乙＝34 m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后。甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a甲＝2 m/s2的加速度匀减速刹车。

(1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章。

(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m处的速度恰好为6 m/s，乙车司机在发现甲车刹车时经t0＝0.5 s的反应时间后开始以大小为a乙＝4 m/s2的加速度匀减速刹车。为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？解析：

(1)对甲车，速度由20 m/s减至6 m/s，过程中的位移x1＝2202a甲＝91 m，x2＝x0＋x1＝100 m，即：甲车司机需在离收费站窗口至少100 m处开始刹车。

(2)设甲刹车后经时间t，甲、乙两车速度相同，由运动学公式得：v乙－a乙(t－t0)＝v甲－a甲t，解得t＝8 s，相同速度v＝v甲－a甲t＝4 m/s<6 m/s，即v＝6 m/s的共同速度为不相撞的临界条件，乙车从34 m/s减速至6 m/s的过程中的位移为，x3＝v乙t0＋2202a乙＝157 m。所以要满足条件甲、乙的距离至少为x＝x3－x1＝66 m。答案：　(1)100 m　(2)66 m

17. 甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为16 m/s。已知甲车紧急刹车时的加速度大小a1＝3 m/s2，乙车紧急刹车时的加速度大小a2＝4 m/s2，乙车司机的反应时间为Δt＝0.5 s(即乙车司机看到甲车刹车后0.5 s后才开始刹车)，为了保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车行驶过程中至少应保持多大的距离？

【答案】1.5 m

解析：画出v -t图像如图所示。若两车速度相等时，两车不相撞，之后两车一定不会相撞。两车速度相等时，可得v0－a1t0＝v0－a2(t0－Δt)，解得t0＝2 s。由x甲＝v0t0－12a1t02，解得x甲＝26 m；x乙＝v0Δt＋v0(t0－Δt)－12a2(t0－Δt)2，解得x乙＝27.5 m，故x0＝x乙－x甲＝1.5 m。即甲、乙两车行驶过程中至少应保持1.5 m的距离。

18.每年都有很多高中毕业生利用暑假去学习驾驶技术，其中目标停车是驾考中的一个必考题目，其过程可简化为如图所示的模型：在一条平直公路上有A、B、C、D四个停车标志杆，每相邻两个停车标志杆之间的距离为Δx＝16 m，某次测试时，驾驶员正在以v0＝20 m/s的速度匀速行驶，当车头到达O点时听到停车指令，要求驾驶员将车头停在标志杆D处，驾驶员经过Δt＝0.5 s的反应时间后开始刹车，刹车后开始做匀减速直线运动，若测得汽车从O到标志杆B的时间为t1＝5.5 s，从标志杆B到标志杆C的时间为t2＝2.0 s。求：

(1)O点到标志杆A之间的距离x及汽车刹车时的加速度大小a。

(2)汽车停止运动时车头与标志杆D的距离L。

解析：　(1)汽车通过BC中间时刻的瞬时速度为：v1＝Δxt2＝8 m/s，从开始刹车到BC中间时刻的时间为：t＝t1＋t22－Δt＝6 s，则刹车时的加速度大小为：a＝v0－v1t＝2 m/s2，从O点到B点的距离为：xOB＝v0·Δt＋v0(t1－Δt)－12a(t1－Δt)2＝85 m，则O点到标志杆A之间的距离为：x＝xOB－Δx＝69 m(2)因为反方向是匀加速直线运动，所以B点的速度为：vB＝v1＋a·t22＝10 m/s，从B点到停止，汽车的位移为：x′＝2B2a＝25 m，所以汽车停止运动时车头与标志杆D的距离为：L＝2Δx－x′＝7 m。答案：(1)69 m　2 m/s2　(2)7 m

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